\chapter{1926年费米-狄拉克分布 Fermi-Dirac Distribution}
	
	\section{引言} 费米-狄拉克分布是描述全同费米子系统中粒子能量分布的核心统计规律，由恩里科·费米与保罗·狄拉克于1926年独立提出。该分布成功解释了金属电子热容异常、场致电子发射等经典理论无法说明的现象，现已成为半导体物理、凝聚态物理等领域的理论基础。
	
	\section{理论定义} \subsection{基本概念} 对于自旋为半整数（$\hbar/2$的奇数倍）的费米子体系，在热平衡状态下能量为$E$的量子态被占据的概率为： \begin{equation} f(E) = \frac{1}{1 + e^{(E-E_F)/kT}} \end{equation} 其中$E_F$为费米能级（系统的化学势），$k$为玻尔兹曼常数，$T$为绝对温度。
	
	\subsection{物理特性} \begin{itemize} \item 当$T=0,K$时：$E<E_F$态被完全占据($f(E)=1$)，$E>E_F$态全空($f(E)=0$) \item 当$T>0,K$时：$E_F$处占据概率恒为$1/2$，分布函数在$E_F$附近$2kT$范围内过渡 \end{itemize}
	
	\section{推导过程} \subsection{巨正则系综方法} 考虑$N$个费米子构成的孤立系统，每个能级$E_i$具有$g_i$个简并态（含自旋自由度）。根据泡利不相容原理，每个量子态最多容纳1个粒子，其巨配分函数为： \begin{equation} \mathcal{Z} = \prod_i \left(1 + e^{-\beta(E_i-\mu)}\right)^{g_i} \end{equation} 其中$\beta=1/kT$，$\mu$为化学势。
	
	\subsection{最概然分布推导} 通过拉格朗日乘子法约束粒子数守恒和能量守恒，得到占据数分布： \begin{align} n_i &= -\frac{\partial}{\partial(\beta\mu)}\ln\mathcal{Z} \ &= \frac{g_i}{e^{\beta(E_i-\mu)} + 1} \end{align} 此即费米-狄拉克分布的标准形式。
	
	\section{半导体中的应用} 在半导体器件中： \begin{itemize} \item 本征半导体：$E_F$位于禁带中央 \item n型半导体：$E_F$靠近导带底 \item p型半导体：$E_F$靠近价带顶 \end{itemize} 当$(E-E_F)>3kT$时，分布退化为经典的玻尔兹曼形式。
	
	\section{结论} 费米-狄拉克分布揭示了量子统计与经典统计的本质差异，其成功预测不仅解决了早期金属电子理论的困境，更为现代半导体器件设计提供了核心理论工具。
	